Bilangan Real dan himpunan

Bilangan real 

Bilangan real adalah gabungan dari bilangan rasional dan bilangan irasional itu sendiri.

Contoh : 1, 2, ⅔, √2, √3

1. Bilangan rasional 

Bilangan rasional  adalah bilangan yang dinyatakan sebagai rasio dari dua buah bilangan asli
( integer).  Jenis - jenis bilangan rasional :

a.  Bilangan bulat  terdiri dari bilangan bulat negatif , bilangan nol,dan bilangan bulat negatif.

     contoh : -2,-1, 0, 1, 2.

b.  Bilangan asli adalah bilangan yang mula mula dipakai untuk membilang.

      contoh: 1, 2, 3

c. Bilangan cacah adalah bilangan yang dimulai dari 0

    contoh : 0, 1, 2,3

d. Bilangan komposit adalah bilangan yang dapat dibagi oleh bilangan yang lain dan bukan merupakan bilangan prima.

     contoh: 4, 6, 8

e. Bilangan pecahan adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b dimana a  sebagai pembilang sedangkan b sebagai penyebut.

    contoh : 1/2, 2/3, 3/4.

2.  Bilangan Irasional

Bilangan irasional adalah bukan bilangan rasional. Bilangan irasional tidak dapat dinyatakan dalam bilangan bulat ataupun bilangan pecahan 

contoh: √2, √3 

Himpunan

Himpunan adalah kumpulan benda- benda atau obyek yang didefinisikan ( diberi batasan) dengan jelas . Benda atau objek yang membentuk himpunan disebut elemen atau anggota himpunan.  Anggota himpunan bisa berupa hewan, orang, angka, dll.

Contoh :

1. A adalah himpunan genap kurang dari 12. Anggota himpunan nya 2,4,6,8,10
2. X adalah himpunan hewan berkaki 4 . Anggota himpunannya  Jerapah, Gajah, Kuda.

Notasi  Himpunan

•  Anggota suatu himpunan dinyatakan dengan lambang ∈, sedangkan notasi bukan anggota dinyatakan dengan  ∉ .
•  Suatu Himpunan dilambangkan dengan huruf besar, sedangkan anggota Himpunan dilambangkan dengan huruf kecil.
• Notasi pembentuk himpunan adalah menuliskan semua elemen himpunan tersebut dalam kurung kurawal.

Cth: A= {X| X = bilangan genap diantara 0- 12}

Jenis - jenis himpunan :

• Himpunan Universal ( semesta) adalah himpunan semua objek/ benda yang dibicarakan

Dilambangkan dengan notasi U

• Himpunan kosong ( empty/null set) adalah himpunan yang tidak memiliki anggota

Dilambangkan dengan {  } atau ᴓ.

• Himpunan berhingga dan Himpunan tak berhingga

Himpunan berhingga (finite set) adalah himpunan dimana jumlah anggotanya dapat dihitung.
Himpunan tak berhingga (infinite set) adalah himpunan dimana jumlah anggotanya tidak terbatas.

• Himpunan Ekuivalen/ sama adalah 2 himpunan yang memiliki anggota sama 

             cth: D={ S, G, M} , E= (M, S, G} 

berarti D=E 

• Himpunan   saling lepas/ adjoint  adalah keadaan dimana himpunan X tidak mempunyai anggota yang sama dengan himpunan Y.

Biasanya ditulis X ⊃⊂ Y atau  X≠ Y.

• Himpunan Bagian adalah kondisi dimana semua anggota himpunan B adalah anggota himpunan A.

Biasanya ditulis B⊂ A

Operasi himpunan

• Gabungan (Union)

Gabungan dari dua himpunan (misal K dan M) ditulis K U M yang diartikan sebagai himpunan anggota K dan M.

cth .  K= {2, 4, 6, 8,10,12}

         M= {3,6,9.12,15}

              K U M ={ 2,3,4,6,8,9,10,12,15}

                                        

• Irisan (Intersection)  adalah jika ada anggota K yang merupakan anggota himpunan M, maka ditulis K ∩ M

cth. K= {2, 4, 6, 8,10,12}

       M= {3,6,9.12,15}

       K ∩ M = {6,12}

• Komplemen

Komplemen adalah anggota himpunan semesta tetapi bukan anggota himpunan tersebut.
notasi pembentuk komplemen himpunan C ditulis: C'={x|x∉C, dan x∈S}

• Selisih 

notasi : G-F= {x|x∉F, dan x∈G}

Beda setungkup 

notasi : ⊕

    A⊕ B = (A-B)U(B-A)